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“思”就是思考，思维的过程。数学，是一门有关思维训练的学科。思维的发展之于数学是主心骨，是实质，是学好数学的根本。“学而不思则罔，思而不学则殆”。对于数学而言，更是如此。
新课程提倡把学习自还给学生，那么前提就是学生要有自主学习的意识和能力。小学生本身思维自觉性就不够，要调动学生内在的思维能力，我们要做到：(1)培养兴趣，提高思维。新教材中往往图文并茂，以生动有趣的形式来呈现新知识，并在其中增添了很多人文化的内容，都是在充分考虑学生自身特点的基础上做的改动。(2)适当分段，分散难点，创造条件让学生乐于思维。如，关于钟表的内容。这块内容是分段进行的。如果能在没学之前就在教室里挂一块钟，平时有意识地问一些有关时间的问题，这样接下来的学习就会让学生感到轻松自如，也就可以让学生用思维的余力进行知识的拓展了。(3)鼓励学生独立思维。特别是小学生，往往有从众性，从而导致盲目听从别人的意见，缺乏自己的独立思考。所以平时课堂要注意让学生安静地思考，设计练习安排整体反馈或者组织有效的讨论，才能保证全体学生的独立思考。
二、“说”的能力的培养。
“说”就是口头表达能力。“说”不仅仅是语文学科的重要内容，也是数学课堂中学生所要发展的重要能力之一。思维是内在的学习活动，而“说”则是在思维支配下所应训练的独立的一种学习能力。培养口头表达的数学能力有利于培养学生创新精神和创新能力；有利于确立学生主体地位；有利于培养学生合作精神。
学生语言表达数学能力的基本要求是，勇于提问，合理猜想，积极讨论、分析，言必有据的推理。学生语言表达数学能力是有层次性的，即遵循从低级到高级，从简单到复杂，从具体到抽象。另外，语言表达数学能力具有综合性，它的发展是与记忆力、理解力、想象里等是分不开的。只有培养学生全面综合素质的情况下，才能更好得发展。
三、“问”的能力的培养
古人云：“学贵有疑，小疑则小进，大疑则大进也。”爱因斯坦曾说过：“发现问题比解决问题更重要。”问题是推动探索的原动力。在课堂学习中学生难免会遇到一些问题，鼓励学生质疑问题是培养学生探索意识的重要途径。新课程中更是注重对学生问题意识和提问能力的培养。
如何培养数学问题能力呢?(1)创造民主气氛，鼓励学生敢问。小学生本着一种好奇的天性，本来就有很多的问题。教师要帮助转变观念，创造良好氛围，让学生放下思想包袱，敢问爱问。在学习“9加几”中，孩子们很容易受幼儿学习时的影响，认定“把9凑10”。让学生再想想，他们却支吾不清。经过一番鼓励后，学生的问题和算法才多样起来。(3)创设质疑情境，引导学生想问。“不愤不启，不悱不发”，要激发学生提问的兴趣，更要注意运用多种教学手段的综合运用。特别是新教材，一改传统应用题教学中的单纯文字现象，利用形象图，增加了开放度，让生看图自己先问问题，再列式计算。(3)教给质疑方法，引导学生会问。要抓住有质疑空间的内容对学生进行有意识地培养。一道例题，一道练习，甚至学生的作业反馈，都是可以利用的。如，在教“小数除法的计算”时，有这样一道题÷，一些同学认为余数是1，一些同学认为是，另一生提出说既然商是21为什么余数不是1呢?对这个问题我并没有马上进行反驳，而是组织学生思考，辩论，验证，经过小组合作讨论，终于得出了正确结论，还讲出了理由。这样，问题从学生中来又回到学生中去，让学生激起探索的兴趣，体验成功的快乐，能让学生做自己学习的主人。
四、“用”的能力的培养
“生活数学”是现在新课程中的重要理念，数学来源于生活，应该回归到生活，我们学习和研究数学，不是为了只培养几个工程师和数学家，而是为了人人具备公民所必须的数学素养，学有价值的数学，能重在应用，体现出数学真正的价值。
培养应用意识是培养应用能力的前提。意识是一种心理倾向，培养学生应用数学的意识，是让学生在面对问题时主动尝试从数学的角度运用数学的思想方法寻求解决解决策略的一条重要途径。当今的社会，许多的信息都存在着数学含量，如果欠缺数学的应用意识，那么会对学生未来的发展中将会产生影响。比如，日常生活中我们经常会听到“估计第三世界人口的年增长率是4%”，“_规定旅客所携带的行李外观大小限于长、宽、高之和不超过160cm”等语言。这实际上就是人们对客观世界中某些现象的描述，其中涉及大量数学事实、各种统计图表、数学符号等信息。
应用能力的培养是新课标的明确要求。学生一旦具备了应用意识，便会主动要求掌握更多的知识，需要更多的机会来实践。教师是要在教学的各个环节创造这样的机会，让学生真正体验到知识的形成、建构和发展，在实践操作中完善知识系统。(1)收集生活中的数学素材，为教学所用。收集者可以是教师，也可以是学生，这就需要师生共同来做有心人，树立正确的数学观念，在生活中分析出数学现象。(2)改变现有教材中应用题的标准化模式。可以改变叙述模式，如一年级的按顺序填数，可以用开火车，找位置，排队等多样而新颖的叙述来激发学生兴趣。可以改变呈现方式。例如，在教完长方体的表面积后，出现：要做一个长、宽、高分别是40厘米、30厘米、25厘米的金鱼缸，下面的材料够么?(一个长80厘米，宽60厘米的长方形玻璃)如果学生只从纸上计算结果，得出的结论是够的，其实只有动手时间操作后才会发现这块材料是不够的。任何有实际应用价值的题目，往往答案和设计都是多元的，也就是说没有固定的结论，这就体现了应用题型的开放性，这就要求教师更注重学生的思路和想法，提倡学生能根据不同情况解决实际问题。
当然，各项数学能力的培养和发展是一项长期的任务，所谓“任重而道远”。创新能力，实践能力等任何一项与学生发展有关的能力，都是我们教师所要努力的方向。相信，在新课标的指导下，在新课堂的尝试中，我们的学生会不断发展，不断进步，在数学的天地里健康成长!
以前，我一直以为学习”求最小公倍数”这种知识枯燥无味，整天与”求11和12的最小公倍数”类似这样的问题打交道，真是烦死人，总觉得学习这些知识在生活中没有什么用处。
然而，有一件事却改变了我的看法。那是前不久的事了，爷爷和我一起乘坐公共汽车去青少年宫。我们爷俩坐的是3路车，快要出发的时候，1路车正好也和我们同时出发。此时爷爷看着这两路车，突然笑着对我说：”小溦，爷爷出个问题考考你，好不好？”我胸有成竹地回答道：”行！””那你听好了，如果1路车每3分钟发车一次，3路车每5分钟发车一次。这两路车至少再过多少分钟后又能同时发车呢？”稍停片刻，我说：”爷爷你出的这道题不能解答。”爷爷疑惑地看着我：”哦，是吗？””这道题还缺一个条件：1路车和3路车的起点站是同一个地方。”爷爷听了我的话，恍然大悟地拍了一下自个聪明秃顶的脑袋，笑着说：”我这个‘数学博士’也有糊涂的时候，出的题不够严密，还是小溦想得周全。”我和爷爷开心地哈哈地大笑起来。此时爷爷说：”那好，现在假设是同一个起点站，你说说用什么方法来解答？”我想了想，脱口而出：”再过15分钟。因为3和5是互质数，求互质数的最小公倍数就等于这两个数的乘积（3х5=15），所以15就是它们的最小公倍数。也就是两路车至少再过15分钟能同时发车。”爷爷听了夸我：”答案正确！100分。””耶！”听了爷爷的话，我高兴地举起双手。
从这件事中，我明白了一个道理：数学知识在现实生活中真是无处不在啊。
今天，我在做题时被一道应用题给难住了。这道题的题目是：小华今年3岁，今年爸爸26岁，几年后爸爸的年龄是小华的3倍？我百思不得其解。
后来妈妈回来了，我就请教妈妈。妈妈帮我分析：根据这个题目的条件可知，今年爸爸和小华的“年龄差”是26－4＝24（岁）。再根据“爸爸的年龄是小华的3倍”这一关系，画张图试试。我们俩就开始画了起来。
画了图之后，我马上明白过来了：他们俩过了几年后，“年龄差”还是24岁。再根据差倍问题的解法求出几年后小华的年龄，用几年后小华的年龄减去2岁，就可以求出中间经过了几年了。
解是：26－2＝24（岁）
24÷（3-1）＝12（岁）
12－2＝10（年）
答：10年后爸爸的年龄是小华的3倍。
妈妈又让我验算一下，10年后爸爸的年龄是不是小华的3倍。
（26+10）÷（2+10）＝36÷12＝3
耶！我答对了。看来做题先得画图，画了图就能就一目了然了。
关键词：兴趣激发引发培养巩固
数学具有理论性、抽象性、逻辑性和解决问题的广泛性等特点。在教学课堂中往往显得枯燥乏味,各种怪异符号更让学生没有了学习的兴趣,加之数学学科抽象性高,连贯性强,使得许多学生学而生畏,畏而生厌,从而导致学生对数学缺乏兴趣。失去了学习数学的动力,造成数学成绩的不佳。因此说:学生对学科兴趣的强弱决定了学生学习质量的高低。兴趣对传授数学知识,提高数学能力,增效减负,学习质量具有十分重要的意义。数学教学中激发学生学习兴趣是重要的一个环节。作为数学老师应努力使学生热爱数学,对数学学习有兴趣。激发和调动学生的学习积极性,培养学生学习数学的兴趣,方法和途径是多种多样的,我结合自己在数学教学中的经验,就如何激发培养学生的兴趣,谈几点体会。
一、巧举应用,激发兴趣
数学发展到今天,与社会的关联越来越紧密,应用越来越强。强调数学教育与生活世界的联系是数学课程改革的一个重要特点。对此,《数学课程标准》指出,数学课程的内容一定要充分考虑数学发展进程中人类的活动轨迹,贴近学生熟悉的现实生活,不断沟通生活中的数学与教科书上数学的联系,使生活和数学融为一体。由于受教材的篇幅所限,教材的呈现形式往往是一些经过精心组织的、条理清晰的数学结构,他们虽然看上去很完美,但割断了与现实生活之间的联系,数学对于学生来说是自己对生活中的数学现象的“解读”,重现与还原“教材”的本来面目,让教材真正成为学生自主开展数学学习、沟通生活与数学联系的“有效素材”,激发和调动学生的学习积极性,培养学生学习数学的兴趣,应当成为新课程观下数学教师认真研究的课题。
学习的目的在于运用。“有用数学”大概就由此得出。学生学会了数学知识后,在运用的过程中,让学生去解决生活中的一些具体问题,体验数学的价值,体会学习的快乐,从而对学习数学产生浓厚的兴趣。
二、巧设疑问,激发兴趣
亚里士多德说过:“思维自疑问和惊奇开始。”疑是思维的开端,是创造的基础,是产生求知欲望和兴趣的源泉。在数学教学中,教师要善于利用问题设疑来鼓励和激发学生独立思考、积极探索,点燃其智慧的火花。同时青少年对事物充满着兴趣和好奇心,这也是开创思维的开端,在课堂教学中,教师还应不断提出新问题,使学生始终处于探索之中,激发学生的思维与灵感,增加他们的求知欲望,寻找解决问题的办法。“学起于思,思起于疑。小疑则小进,大疑则大进。”用设置疑问来激发求知欲望,可以吸引学生寻根究底,深入到学科知识的内核中去,从而成为不断催发智能的刺激。如果学生形成一个善疑乐学的学习习惯,那就意味着他们获得了一个创造力的潜能。
网络的广泛使用,使现代教学媒体对数学课堂教学产生了全方位的优化作用,特别是,师生可以在数学课堂上创生出内涵丰富的数学内容,使数学课堂教学的内容不再仅仅局限与书本。实践证明,以多媒体计算机为核心的辅助教学有利于激发学生的学习兴趣。计算机极强的交互性,使学生有了参与的机会,学生的想象力得到了充分的发挥,也极大地调动了学生的积极性、学习兴趣。
四、语言生动幽默,引发兴趣
数学教师的语言艺术修养,直接影响着数学教学的趣味性。有趣的内容配合生动的语言,便会相得益彰。教师的语言艺术可以使抽象的概念、判断、定理具体化,深刻的道理通俗化,难懂的理论形象化,易于诱发学生学习兴趣。在教学中教师富有哲理和情趣的幽默,能深深地感染和吸引学生,使自己教的轻松,学生学得愉快。例如,在解析几何中讲授求曲线轨迹过程时,笛卡尔坐标系起一个桥梁作用,象媒人在为男女牵线一般,它建立起曲线与方程之间的一一对应关系。通过这种生动、幽默的表述,使同学很快掌握求轨迹方程的本质,极大调动学生自主学习的积极性,引发学生的学习兴趣。
五、一题多解、一题巧解,培养兴趣
一天，数学老师提出了一个问题：1+2+3+4+5+6……一直加到100的得数是多少？那么，一直加到1000和10000呢？用简便方法计算。
算式：1+2+3+4+5+6+7……+100=5050 5050×10=50500 50500×10=505000
答：1一直加到100的得数是5050,一直加到1000和10000各是50500和505000。
简便算法：或许有些同学会觉得这个算是太长，需要计算器！no，那就错了。只要仔细看看就可以发现1和99可以凑成100，2和98可以凑成100，3和97也可以凑成100，4和96，5和95，6和94 ，7和93，8和92，9和91，10和90，11和89……一直这样凑成100，结果可以得到能凑成50个100，就是5000，但是还剩下一个50单独一个数字，就可以拿5000 + 50 =5050，得出1一直加到100的得数。但有人会问了，1一直加到1000和10000为什么不着要算呢？因为100和1000的进率是10倍，1000和10000的进率也是10倍，所以可以拿1一直加到100的得数5050乘10倍等于50500，再拿50500乘10倍等于5050000。行对应的，1一直加到100000、1000000、10000000......以此类推，都可以这样算，当然，你也可以更深的理解这道题的规律哦！
前几天，我陪妈妈去商场买衣服。
女人逛街买衣服是最烦的。她们要看看这个牌子搞不搞促销，那个牌子打不打折。就这么挑挑拣拣，起码也得两三个小时才能回家。这不我又 开始抱怨了。
“老妈~你还要逛多久才肯罢休啊！你女儿我要累死了。”“那好吧，我也逛不动了。我也只带了500.那你算算我用了多少钱，有没有剩余，如果有剩余，剩多少。”“那有没有奖励啊？”我一脸期待的问。“没有！”妈妈立刻回绝了我，又道“答错了继续逛街。”我脸不解：“你不只带了500吗？”“那是现金，还有信用卡可以用来刷呢！”我立即惊呼道：“不会吧！还有信用卡?”我心想：一定要正确！不就是加加减减吗！可是我不知道每件衣服的价钱啊！妈妈好像看出了我的心思，拿出了一张纸不知道写了什么。我一看，居然是所有东西的价格，原来妈妈早为我“准备”好了
我看了一眼，便立刻报出答案：“390元，还剩110元。” 妈妈立刻摇了摇头说：“不对！你再仔细看看。”我仔细一看，上面写着：披风打8折，买一套衣服减20元，鞋子大减价打4折。妈妈说：“现在多少钱呢？”“302元 。还剩198元。”“那就继续逛咯！”我在心里悲哀道：呜呜，又要逛了！以后就算计算再好也要看清题目，不然老是灾在题目上面，太冤枉了！
以后要仔细审题才行啊！不然就悲了!
爸爸是一个的十足的数学迷，平时最爱出些数学题来考我了。这不，今天闲来无事又向我出题了，我问道“：爸爸今儿要出啥题？我奉陪到底：”爸爸看我自信满满，满脸笑意说：“输了可别哭鼻子，请听题：有一师徒二人共同加工26个零件，徒弟先到车间，就先拿了一些零件放在自己的机床边。师傅”来了，一看徒弟要拿去加工的零件太多了，他除了拿了留给他的零件外，又从徒弟那里拿了一半零件。徒弟觉得自己应该多干一点，又从师傅那里拿来一半。师傅不肯，徒弟只好再给师傅5个零件，最后还是师傅比徒弟多加工2个零件。请问，徒弟最初准备加工零件是多少个？“我不禁想：可以先求出徒弟最后加工零件（26÷2）÷2＝12个。徒弟没给师傅5个零件时，徒弟有零件12＋5＝17个，徒弟没从师傅那里拿走一半之前，师傅有9×2＝18个，而这时徒弟只有零件26——18＝8个，因此师傅没拿走徒弟手中零件的一半之前徒弟有零件8×2＝16个。这时，爸爸拍了我的肩，说：”想出来了没。“我这才恍过神来，答道：”徒弟最初准备加工零件16个。“
爸爸故弄玄虚地问：”你确定吗，还要改吗？“我胸有成竹的摇了摇脑袋，说：”不用改了 。“”恭喜你……答对了！“
我高兴的一蹦三尺高，心里乐滋滋的，像吃了蜜一样甜。
夏天，人们最常使用的就是空调了，可是空调耗电量大，花的钱就越多了，所以人们就尽量能不开就不开了，空调也就成了摆设。今天，我们就来说一说怎样开空调最省电！
爸爸也拿着纸和笔来帮着我计算。我们先假设，一个一匹的空调，它的制冷能力大约2300W，消耗功率约为720W，将温度设定在22度；甚至20度以下，那么每小时应该耗电度左右，一整晚按10小时来算的.话，就是7度电左右。如果1度点等于6毛钱的话，7度电就算是5（取整数）元，一个月就是150元。我不禁感叹了一声：“这仅仅是空调的钱啊！”
爸爸又说：“但是我们可以把温度调高一点啊，这样花的钱就会少一点了。”我一听，连忙打开了电脑，查了起来。结果如下：若室内温度设定在26度的话，温度稳定后，降频降功率运转1小时，在保温及气密良好的房间，大概1小时耗电约度电左右。10小时大概就是3~4度电。我不禁又感叹了一句：“这差距也太大了吧！”我们再次计算，按一晚4度电来算，就是3元钱一晚，一个月就是90元。但是像我这样怕热的小孩，开26度根本不过瘾，这时我们就可以开一台风扇，风扇一晚大概是度电，就是3毛钱，一点也不贵。26度加风扇就可以节约下来很多度电了。但是也不能一直吹空调哦，每天也应该出出汗嘛！
数学就在我们的身边，只有留心观察身边的一切，才能学好数学！
清明节期间，我们一家人来到了服装店。
首先，我们先去给爸爸买衣服，爸爸挑了一件他特别喜欢的衣服。正好清明节特价打八折。爸爸问我，一件衣服的价钱是150元，打八折相当于衣服的价钱乘以，你知道一件衣服多少钱吗？我想：150×，不如用150÷10=15，×10=8，再相乘，15×8=120元，结果得120元，我高兴得对爸爸说：“是120元！”爸爸问：“为什么呢？”我便把问题解答的过程告诉了爸爸，爸爸说：“对，还有一种方法就是将×10，150×8=1200，再点上一位小数点就成了120。”
买完衣服，我们就来到了地上超市，爸爸对我说：“商店奶制品正在做促销活动，买二赠一，如果买两箱，相当于打几折呢？”我说：“让我算一算。”我想半天也想不出来，只好问爸爸，爸爸是这样解答的：“买二赠一就是花两箱牛奶的钱买三箱的牛奶。一箱50元就相当于花100元的钱买了150元的牛奶，那拿100÷150就相当打的折数，100÷150等于，结果在到7折之间，你明白了吗？”我说：“噢，原来是这样的，我现在明白了！”
在回家的途中，我也发出了许多生活中的数学，例如：楼层的高度，廓的面积，太阳能的容水量，国旗的精确度等等一些问题和发现！
这就是我在生活中的数学发现，我相信，还有更多的数学问题在前方等待着。
星期天，全家人在一起讨论清明节回老家扫墓的事。谈着谈着，我心里忽然冒出了一个疑问：这里离老家有多远呢？”我问妈妈，妈妈笑了，说：你说呢？你上了这么多年学，一定会有办法知道的，对吧？”
我想了想，灵光一闪，对了，可以用我们最近学的比例尺的知识来算。我立即拿来地图，找到了泰州市，却怎么也找不到老家所在地顾高镇。怎么办呢？我冥思苦想，突然灵机一动：我可以先找到离老家顾高镇最近的乡镇黄桥镇，量出地图上泰州到黄桥的距离，再减去一些，就是地图上泰州到老家的大约的距离了！说干就干，我立即量出地图上泰州到黄桥的距离，它是。因为老家比黄桥离泰州更近些，我便把减去了，变成了。因为这份地图的比例尺是1：6000000，我便用×6000000=3000000cm，3000000cm=30km。
我立即向妈妈报出了我的答案：大约30千米，本以为会得到妈妈的表扬，可谁知妈妈却疑惑地说：好像没这么近吧？”听了妈妈的话，我也疑惑不解：怎么会这样？”我又来到地图前，重新量起来。量着量着，我突然发现了其中的奥秘：我量的是地图上两点间的直线距离，而实际的道路不是直线的，是绕来绕去的，所以实际路程一定比依据地图计算出来的远。
我把我的发现告诉了妈妈，妈妈也恍然大悟：对！就是这样！你真聪明！”
全日制义务教育新《数学课程标准》明确指出：“有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆”，教师应当帮助学生“在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握的数学知识与技能、数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验。”这实际上从一个角度要求数学教师，要重视学生的认知学习。但在实际教学中，还未重视认知结构的研究运用。尤其到了复习阶段，连续不断的向学生发放复习试卷和机械地向学生布置复习题给予强化，以达到反应结果。或者在平时教学中，让学生死记一些结论，不注重“有意义的学习”。学生的学习似乎还停留在“S—R”阶段。这种简单的操作方法在短时间内能使考试成绩上去，但代价是学生沉重的学习负担，并造成学生思维僵化，不利于培养“发展型”人才，与素质教育背道而驰。如学生对于绝对值概念，只知道│a│是a绝对值，而不明白它的真正内涵。没有通过学生生活中已建立起来的认知概念与数学内容的新认知结构进行联结。结果是造成对绝对值概念理解的是似而非。本文就数学学习的联结问题及导向策略上作一些探索。
二、关于联结理论
数学学习是什么过程？“人类的学是以一定的经验和知识为前提，是在联想的基础上，更好地理解和掌握新知的。”①数学学习也不例外，这里的联想即为知识的联结过程。
关于联结，理论上的研究，目前有两大派别。一是以美国心理学家桑代克为代表的联结主义的行为学习理论。二是以美国心理学家布鲁纳和奥苏伯尔为代表的认知学派学习理论。桑代克的主要观点是，学习就是作尝试错误。如果把当今的学习刺激设为S，学习反应设为R，学习就是S—R的联结过程。它是在动物实验的基础上提出的，是一种盲目的尝试。通过不断尝试，出现错误，不断矫正，从中学会知识和技能。
而认知学派认为，学习就是知觉的重新组合，这种知觉经验变化过程不是简单的“S—R”过程，而是突然的“顿悟”，强调“情景的整体关系”。而以美国心理学家托而曼为代表的观点进一步认为，在S与R之间应该有一个“中间变量”，即认知和目的，学习是期待，就是对环境的认知。因而，学习过程是一个S—O—R的过程。布鲁纳和奥苏伯尔还把它进行了发展为现代认知理论，认为“学习就是类目即及其编码系统的形成。”②它不仅批评S—R直接、机械的联结，而且提出学习存在一个认识过程，是认知结构的重新组合。强调原有的认知结构的作用，也强调学习材料本身的内在联系。把内在联系的材料和学生原有的认知结构联结起来，新旧知识发生作用，新材料在学生的头脑中达成“内化”，学会了对“S—O—R”中的“O”的捕捉，成为真正的意义的联结，或者说学生对新材料有了深刻地理解和超越。
显然，在不同的时代，上述理论对数学教育都有积极的贡献。但时至今日，在数学教育中，我们不能不重视，数学学习重要的应该是认知学习，它是一个建立学生心理内部学习机制的过程。这里要明白三点：学生学习数学，一要利用学生原有的认知结构，二要重视学生一定年龄阶段的心理发展水平，三要充分考虑不直接参与的情感、意志、兴趣等问题。
三、数学学习的两种联结思想剖析
下面结合教学实践，说明“S—R”与认知结构连结之间的各自意义。
例：如图，已知在O内接ABC中，D是AB上一点，AD=AC，E是AC的延长线上一点，AE=AB，连结DE交O于P，延长ED交O于Q.求证：AP=AQ.
按“S—R”的行为主义联结理论，可以让学生直接操作。这时，学生可能不去仔细审题。由图形“先入为主”，不断尝试，不断碰壁，然后再回头去审题。在点、线、角、三角形、圆的离散图形中不断产生错误。偶而碰上解题思路，才得到问题的解决。之后，再不去认识、总结。下次在碰上此题，又重新错误尝试。显然，这样的问题解决法，造成精力的极大浪费，所学知识也难以巩固。平时，我们老师经常说：“此题我让学生解过，还做不出！”原因在于“S—R”联结不是“有意义的学习”，没有找出新旧知识之间的内在联结，没有建立学生的新的认知结构。
而利用认知结构理论思考，首先是认真审题，进入“上位学习”③，对自己提问：
1、见过这个问题吗？见过与其类似的问题吗？用到那些基础知识？（图类似？还是条件类似？还是结论类似？）
2、见过与之有关的问题吗？（能利用它的某些部分吗？能利用它的条件吗？能利用它的结论吗？引进什么辅助条件，以便利用？）
以此，把原建立的认知结构中的全等三角形、圆周角性质、等腰三角形的判定等旧知加以调运。在此基础上，使学生进入“下位学习”④
然后，盯住目标——始终盯住要证的结论AP=AQ。就是要明确方向，哪怕中间状态不断变化，但始终与目标比较，及时调整自己的思路，建立“认知地图”⑤，以不迷失方向。其基本框架如下：
有什么方法能够达到目标？（1、达到的目标的前提是什么？2、能实现其中的某个前提吗？3、实现这个前提还应该怎么办？）
如上题，我们不妨采用逆向分析进行探索。这是认知策略的其中一条有效途径：
AP=AQ（目标）
∠AQP=∠APQ（前提）
以下为实现前提需找中间量，
即∠AQP=中间量=∠APQ.这时,逆向分析无法进行,此时一般就是添辅助线的时候,转化圆周角∠AQP,连结BP,即有
∠AQP=∠ABP.
因此,只要证明∠ABP=∠APQ.
由于∠ABP=∠ABC+∠PBC,∠APQ=∠E+∠PAC,
而∠PBC=∠PAC,所以,只要证∠ABC=∠E,即证ABC≌AED.
(以下略)
这样，学生在原有的认知结构思维水平基础上发展他的联想思维，使新旧知识加以联结，找到证题方法，达到解决问题，建立起新的认知结构。
因此，我们在教学中，一定要把精力化在建立学生认知结构的工夫上，善始善终加以引导。少用或不用“S—R”这种“尝试错误”的机械方法，多用科学成功的尝试，引导学生认真寻求“中间变量”，努力使学生的新旧知识加以联结，促进学生的数学素养不断提高。
四、数学学习联结的教学策略
事实上就学习者对数学问题的解决，无论是数学概念的形成、数学技能的掌握，还是数学能力的培养，都是学习者由未知到已知的联结过程，即“S—R”的联结过程，重要的是寻求“中间变量O”，从而构建数学认知结构。所谓数学认知结构，就是学生通过自己主动的认识而在头脑里建立起来的数学知识结构。可以这样说，数学学习的联结过程，就是数学认知建构的过程，学会自觉主动的寻求“中间变量”。最终达到解决问题的目的的过程。那么，在这一过程中数学学习究竟有那些规律可循？说具体一点有那些主要途径，这里谈一些粗浅的认识。
策略之一：以数学知识结构为基础，构建学生的数学认知结构
学习过程就其本质而言是一种认识活动。因此，数学教学的根本任务是发展学生的数学认知结构，首先应明确：数学认知结构是由数学知识结构转化而来的；要建立学生的数学认知结构，首先必须以数学知识结构为基础，进行开发、利用，从而转化为学生的数学的认知结构。着重把握以下三个方面：
数学王国里有无尽的知识，无穷的奥妙。只要我们开动脑筋，善于思考，就会将数学中的问号，转化成感叹号！
星期天，我在家做江苏正卷时，被一道很有意思的题目给卡住了。要求使用简便方法计算，题目是这样的：1999+999*999。这道题是我百思不得其解，无奈之下，只好求助爸爸。爸爸看了一眼，说了一个数字999。我顿了一下，突然恍然大悟，很快做出了这道题。现在，我把过程跟大家一一道来。
1999+999*999
=1999-999+999*999+999
=1000+999*1000
=1000*(999+1)
=1000*1000
=100000
做这道题目的时候，我们首先要审题清楚，理性思考。999这个数字在这道题里来说很特别，是否可以用它来做文章是关键！我们是否可以考虑，同一列式里前后加减同一数字，其结果会怎么样呢？于是乎，我在这道算式里前后加减999后，我发现思路就会很清晰，运算就会更简单。由此我得出以下结论：同一列式里前后加减同一数字，算式结果不变。在今后的学习生活中，我们将会碰到大量的此类题目，只要我们开动智慧的大脑，游弋在思考的海洋，巧妙分割数字，抓住关键点，把复杂的题目简单化，就能得到出其不意的效果。
同学们，我们一起努力，加油！
盼星星，盼月亮，终于盼到了弟弟的生日。生日前一天，我绞尽脑汁在想，应该送些什么给弟弟呢？我终于想到了，要不买些零食送给他，谁叫他是“好吃鬼”呢。
我来到超市，走到零食柜台，一眼就看到了巧克力，这些巧克力有很多品种，有盒装，有袋装，还有一条一条的……我随便拿了一个盒装的，准备放进手推车里，可被爸爸拉住了，说：“买东西要讲究实惠，你先算算，哪个更便宜一些呢。”
我开始口算起来，盒装巧克力是元，净含量是500克。一条条的巧克力是元，净含量是250克，袋装巧克力是15元，净含量是350克，总价除以数量等于单价，盒装巧克力是除以500等于元，条装巧克力是除以250等于元，袋装巧克力是50除以350等于元，元大于元大于元，所以条装巧克力更便宜一些，我拿了5条放在手推车里，3乘5等于15元，买巧克力一共花了15元，于是我按这种方法又买了许多零食，结完账，我们又到到了甜品店，给弟弟买了一个巧克力加草莓的蛋糕，大号巧克力草莓蛋糕是240元，中号188元，经过我仔细一算，中号比较便宜些，于是，我和爸爸拎着蛋糕和零食高高兴兴地回家了。
这次买东西，不仅增长了我的数学水平，还让我知道买东西要讲究实惠。
我对两位数乘两位数有一定的看法。
其中，并非都需要列竖式计算，两位数乘两位数有许多种，我先说出其中的五种。
第一种，个位相加等于，十位数字相同。
第二种，十位数相加等于，个位数字相同。
第三种，十位个位相加既不不等于既，也不相同，没有任何规律。
第四种，个位相加等于，但是十位数字不相同。
第五种，十位相加等于，但是个位数字不相同。
第六种当然，我并非知道所有种类，但是也略知皮毛，至少是可以写出前三中的简便方法来的。
我列几题来看第一题，多少。
和个位相加等于，十位数字相同，是第一种情况。
可以这样计算，末尾，的结果是积的百位和千位，的结果是积的十位和个位。
这题的积是。
第二题，属于第三种，可以将它乘法变加法，三步完成，第一步，个位相乘，积的末尾为。
第二步用，交叉相乘加起来，写进。
第三步，十位相乘，加进的，等于，这题的积是。
第三题，属于第二种，十位数相加等于，个位数字相同。
用，积的千位和百位是和。
最后末尾相乘，十位和个位是和，这题的积是。
当然还有一种指算法。
我就不多说了，我就不一一介绍了。
看了我的方法，你们觉得是我的好，还是数学报上老土的方法好。
1、证明一个三角形是直角三角形
2、用于直角三角形中的相关计算
3、有利于你记住余弦定理，它是余弦定理的一种特殊情况。中国最早的一部数学着作——《周髀算经》的开头，记载着一段周公向商高请教数学知识的对话：
周公问：“我听说您对数学非常精通，我想请教一下：天没有梯子可以上去，地也没法用尺子去一段一段丈量，那么怎样才能得到关于天地得到数据呢？”
商高回答说：“数的产生来源于对方和圆这些形体饿认识。其中有一条原理：当直角三角形‘矩’得到的一条直角边‘勾’等于3，另一条直角边‘股’等于4的时候，那么它的斜边‘弦’就必定是5。这个原理是大禹在治水的时候就总结出来的呵。”
从上面所引的这段对话中，我们可以清楚地看到，我国古代的人民早在几千年以前就已经发现并应用勾股定理这一重要懂得数学原理了。稍懂平面几何饿读者都知道，所谓勾股定理，就是指在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方
用勾（a）和股（b）分别表示直角三角形得到两条直角边，用弦（c）来表示斜边，则可得：
勾2+股2=弦2
亦即：
a2+b2=c2
勾股定理在西方被称为毕达哥拉斯定理，相传是古希腊数学家兼哲学家毕达哥拉斯于公元前550年首先发现的。其实，我国古代得到人民对这一数学定理的发现和应用，远比毕达哥拉斯早得多。如果说大禹治水因年代久远而无法确切考证的话，那么周公与商高的对话则可以确定在公元前1100年左右的西周时期，比毕达哥拉斯要早了五百多年。其中所说的勾3股4弦5，正是勾股定理的一个应用特例（32+42=52）。所以现在数学界把它称为勾股定理，应该是非常恰当的。
在稍后一点的《九章算术一书》中，勾股定理得到了更加规范的一般性表达。书中的《勾股章》说；“把勾和股分别自乘，然后把它们的积加起来，再进行开方，便可以得到弦。”把这段话列成算式，即为：
弦=（勾2+股2）(1/2)
c=（a2+b2）(1/2)
定理：
如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么a^平方+b^平方=c^平方；即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
如果三角形的三条边a，b，c满足a^2+b^2=c^2，如：一条直角边是3，一条直角边是四，斜边就是3*3+4*4=X*X，X=5。那么这个三角形是直角三角形。（称勾股定理的逆定理）
在生活中，我们仔细观察，就会发现许许多多有趣的数学问题。今天，我就发现了一个大问题：一个很小的数可以变成一个非常大的数。下面就给大家举几个例子：
比如说：水。要是每一个人节约一滴水，就一个中国来说就节约了13亿滴水！要是1000滴水可以装满一个桶的话，1300000000除以1000就等于1300000，整整一百三十万个桶啊！整个地球的人，就可以节约60亿滴水，也就是说有600万个桶！这些水可以救多少严重缺水的地区！只是没人节约一滴水而已，就可以救活那么多的人。那我们想一想，没人节约两滴呢？三滴呢？……那个很小的数就是1滴水，很大的数就是6000000000滴水，所以一个很小的数可以变成一个很大的数！
再比如说：电。要是每一个人都浪费一节电池的话，光中国人就浪费了13000000000节电池，全球人就浪费了6000000000节电池！那就可以救很多的缺电地区了，让他们重见光明。这里的那个小数就是1节电池，大数就是6000000000节电池。所以一个很小的数可以变成一个很大的数！
还有：一次性筷子。一棵大树大约可以做一千双一次性筷子的话，中国13亿人就浪费一百三十万棵大树，整个地球就浪费600万棵大树！这是一个多么惊人的数字啊！
数学问题是处处都可以发现的，只要你用心去观察！
练习是一项非常重要的课堂环节，课堂练习的好坏直接影响着课堂质量，针对以上情况，我通过长时间教学发现，做出了如下总结：1.课堂教学中时常出现学生“一看就懂，一说就会，一做就错”的现象，教师精心设计了扎实到位的练习，而学生的练习效果却不能够实现预设练习的价值，从而造成重复低效的局面。问题究竟出在哪里呢？我认为，仅从“教”的角度来设计好的练习内容是远远不够的，教师还应从“学”的角度来安排好的练习方式，只有合适的练习方式才能对学生的学习状态和结果产生良好的影响。2.课堂教学是学生获取知识的主渠道，对课堂练习设计的研究是使学生更好地的投入到课堂学习中去，使学生通过不同的练习促进新知识的掌握。我们需要从学生的实际生活中挖掘开放性的素材，精心地设计课堂练习，使课堂练习丰富起来，活起来，开放起来，生活起来，生动有趣起来教师要结合教学设计贴近生活，富于思考灵活多样化的练习。3.课堂教学练习主要从以下几个方面研究(1)练习的生活化趣味化。儿童的心理特点是好奇、好动、好玩。设计练习时要考虑到儿童的心理特点，从新的练习形式、新的题型、新的要求出发，避免陈旧、呆板、单调重复的练习模式，保持练习的形式新颖，生动有趣。让学生做练习的主人，设计改错题；让学生当医生，设计判断题；让学生当法官，设计操作实验题，调动学生各个感官参与练习。也可以根据学生年龄和心理特点，从学生的生活经验出发，设计生动有趣、直观形象的数学练习，如运用猜迷语、讲故事、摘取智慧星、做游戏、直观演示、模拟表演、各类小竞赛等。练习是数学课堂教学活动的重要组成部分，巧妙的课堂练习设计，成为提高课堂教学的有效性的一个重要环节。好的练习，是课堂教学的催化剂和_，是促进学生全面、持续、和谐发展的重要途径。教师根据学生喜新、好奇、好强、好胜等特点，设计生动活泼、灵活多变的练习，在注重实效的同时，对练习的层次、方式科学安排，能让学生获得成功的体验，发展数学兴趣。设计练习时要考虑到儿童的心理特点，从新的练习形式、新的题型、新的要求出发，避免陈旧、呆板、单调重复的练习模式，保持练习的形式新颖，生动有趣。让学生做练习的主人，设计改错题；让学生当医生，设计判断题；让学生当法官，设计操作实验题，调动学生各个感官参与练习。也可以根据学生年龄和心理特点，从学生的生活经验出发，设计生动有趣、直观形象的数学练习，如运用猜谜语、讲故事、摘取智慧星、做游戏、直观演示、模拟表演、各类小竞赛等。这种游戏性、趣味性、竞赛性的练习，既能激发学生的求知欲望，培养学生做练习的兴趣，又能取得满意的练习效果，使学生在轻松、愉快的氛围中完成练习，在生动具体的情境中理解和认识数学知识，我们何乐而不为呢？(2)练习的多样化。比如在计算上我们反对过度的练习，但熟能生巧，计算能力的培养离不开适度的练习，任何知识都需要在用的过程中逐渐被接受和内化。我们可以在练习形式多样性和趣味性方面下功夫，提高练习的操作性，做到教、学、做合一；在练习多样化上下功夫，增强练习的游戏性、挑战性和趣味性，寓学于乐。让多样化的练习吸引学生的主动参与，变以前的“要我练”为现在的“我喜欢练”，把练习过程变成小竞赛，挑战同学，挑战自己；把练习变成技巧的探索，我发现，我总结，我成功；把练习变成是小游戏，我游戏，我快乐，我喜欢。这样通过充分发挥学生主体的自主性，来巩固计算技能，学生的计算技能就在不知不觉中提高了。
练习的多样性可以从三个方面来设计：1)准备性练习。为了缩短新旧知识之间的距离，促进知识的迁移，在学习新知识前，应根据新学知识所必要的基础以及学生的认知特点设计新课前的准备性练习。在学习“能被3整除数的特征”时，为了排除学生根据个位上的特征来判断一个数能不能被2、5整除的干扰，在学习前设计如下练习。下列哪些数能被3整除，哪些数不能被3整除？13、36、16、93、42、29、24、39使学生看到，个位上是3、6、9的数不一定能被3整除，个位上不是3、6、9的数也不一定不能被3整除，从而为学生建立新的认知结构做好准备。学习前的良好准备，把学生引入最佳的认知状态，再稍加点拨、诱发，便会水到渠成了。2)探究要深入。对于小学阶段的学生来说，在学习知识的时候往往是直观的形象思维比较发达，而抽象的逻辑思维相对来说就比较的欠缺。所以学生对知识的理解和掌握往往是由浅入深、由易到难，并且需要通过大量的练习来加强。在进行新课学习的时候，教师应分层次的、有针对性的、一步步的进行引导、充分给学生思考、动脑的时间，让学生在自己原有知识水平的基础上进行不断的自我探究和自我解决问题，其中教师要适时的引导和提醒学生，不要让学生偏离了学习的轨道，学生在深入探究的过程中慢慢就能够把本节课的重难点突破。2)练习要得法。在设计练习时就要针对学生的特点进行：①基本练习：基本练习要有明确的目的及极强的针对性，是对新的知识进行巩固，同时也是检验学生是否真正理解和掌握了某一项学习内容的有效方法和途径。主要针对的是计算方面的练习。例如低年级的加、减、乘、除的运算以及中高年级的分数、小数的加减乘除运算等。这些有关算理方面的练习可采用基本练习进行，在进行练习中可以采用多种形式进行。比如以进行辨别对错、争当学习的小榜样等形式进行练习，在练习中找到学生的不足以便及时有效的进行指正。②针对练习：主要是指针对性强的单项训练，围绕如何突破难点作文章。例如：在讲解人民币的认识之一部分的内容，由于一年级的学生对于人民币的认识比较的抽象，孩子对于有实物的教学比较容易理解，所以在进行完教学后要进行有针对性的练习。运用专项的练习能够让学生充分的理解重点，分散难点，有利于练习的有效性。在专项练习中第一道题学生可能没有很好的理解，但是在接下来的练习中学生根据上面的经验和总结能够很顺利的突破重难点，实现练习的有效解决这一学习目标。③口述性训练：通过学生用语言表达来说清算理，培养初步逻辑推理能力。例如在教学一般应用题时，用综合法或分析法讲解过后，可让学生说说每一步所表达的意思，试着让学生独立分析，如何从问题推算到条件，对数量间关系有一个完整的认识。④操作练习：通过画、剪、拼等操作手段，寓教育于实践中，既培养了动手能力，又发展了形象思维。在自己动手探索的过程中学生能够有很深的印象，为后面的面积公式的推出做了很好的实践基础。另外学生通过自己的动手操作、动手实践、动手探索能够比较牢固的掌握这个知识点，即使在以后出现了短时的遗忘，那么学生也能够根据自己的操作慢慢理顺过程，重新推出面积公式。这样学生就不是单单的死记硬背了，而是能够灵活变通的找到平行四边形的面积计算方法，而不再像以前那样公式如果忘记了那么什么都不会了。学生在进行有关的操作练习是就不怕忘记什么公式或者是定理了，只要自己慢慢动手操作就能够自己总结出相对应的法则或者是公式。(3)练习的兴趣化。兴趣是一种对智力活动有重要影响的非智力因素。数学学习兴趣是培养孩子良好学习品质的有效途径，是实现有效数学学习活动的前提，是教育的人文精神的体现。兴趣作为一种自觉的动机，是对所从事活动具有创造性态度的重要条件，兴趣具有追求探索的倾向，良好的学习兴趣是学习活动的自觉动力。学生一旦有了数学兴趣，就会积极地去实践，这对能力的培养非常重要。练习要循序渐进，注意层次性练习要顺应学生的认识规律：要由浅入深、由易到难、由单一到复杂、由一般到特殊、由模仿到灵活运用的发展顺序去安排。由公式型到应用型，再到综合型。要有层次，有梯度，使学生从感性认识—熟练掌握—创造性运用，循序渐进，逐步加深。
通过一年的研究和具体实施，学生在练习习惯和思维训练方面得到了提高，我们在研究中也明确了课堂练习多元化实施方向，引导学生正确参与课堂练习，精心为学生设计了适合学生的多元化练习，提出了学生练习、思维训练、情感体验方面的各种建议，起到了较好的引领作用。同时，我们通过上研究课、讨论和设计课堂练习，并积极参与对课堂练习和学生的研究，撰写了很多有价值的论文，在各级各类的比赛中获奖或者发表。我们的老师在各级各类的教育教学比赛中屡获佳绩，每一次的成功经历都是基于我们平时扎实的研究。在研究过程中也曾遇到过很多问题，如：练习与反馈的问题，学生作业量的问题等等，但通过我们课题组的努力都得到了很好的解决。在以后的研究中，我们更要注意研究内容的针对性和实效性，合理安排每一次活动，让活动更有意义和价值，并积极总结和反各研究阶段的各种问题，以便我们更好地开展研究。
今天，我们全家去超市购物。
我们来到超市，看着琳琅满目的商品，我的眼睛都花了。突然，我看见货架上摆着我最爱吃的奥利奥小饼干。其中，一种是用塑料袋子装的，一种是用小纸桶装的。我看了看，发现每袋只要元，而小桶装的一桶却要元。于是，我毫不犹豫，随手拿了两袋元的那种，放进了购物车。我推着小车，边走边美滋滋地想着：这两袋小饼干才元，而那一桶就元，这种袋装奥利奥小饼干实在太便宜了！
这时，妈妈走了过来。我迫不及待地把刚才的事告诉了她。妈妈一听，笑了，她提醒我说：“萌萌，你再算一算，看看到底是哪种便宜？”我不解地问：“袋装的只要元，桶装的要元，买一桶的价格可以买两袋还多呢，难道不是袋装的便宜吗？”妈妈耐心地说：“便宜不便宜可不能光看价钱，还要看重量的呀！你们不是学过小数吗？应该会算的！你算算吧！”于是我看了看两种饼干的重量，喃喃自语了起来：“袋装的，净重20克，用元除以20，那一克就是元。桶装的，净含量55克，用元除以55，那一克就是多元。”“我知道了！我知道了！”我兴奋得大叫起来，急忙对妈妈说：“应该是桶装的便宜！”接着我把算的过程讲给了妈妈听，妈妈听了直夸我聪明，我心里比吃了蜜还甜。
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